Geometri projektif

Geometri projektif, cabang matematika yang berhubungan dengan hubungan antara angka-angka geometris dan gambar, atau pemetaan, yang dihasilkan dari memproyeksikannya ke permukaan lain. Contoh umum proyeksi adalah bayangan yang dibuat oleh objek buram dan gambar bergerak yang ditampilkan di layar.

Geometri projektif berawal pada Renaissance Italia awal, khususnya dalam gambar arsitektur Filippo Brunelleschi (1377–1446) dan Leon Battista Alberti (1404–72), yang menemukan metode menggambar perspektif. Dengan metode ini, seperti yang ditunjukkan pada gambar, mata pelukis terhubung ke titik-titik pada lanskap (bidang realitas horizontal, RP) dengan apa yang disebut garis penglihatan. Perpotongan garis pandang ini dengan bidang gambar vertikal (PP) menghasilkan gambar. Dengan demikian, bidang realitas diproyeksikan ke bidang gambar, maka dinamakan geometri projektif. Lihat juga geometri: Perspektif linear.

Meskipun beberapa sifat terisolasi tentang proyeksi dikenal di jaman dahulu, terutama dalam studi optik, itu tidak sampai abad ke-17 bahwa ahli matematika kembali ke subjek. Matematikawan Prancis, Girard Desargues (1591–1661) dan Blaise Pascal (1623–1662) mengambil langkah signifikan pertama dengan memeriksa sifat-sifat tokoh yang dipertahankan (atau tidak berubah) di bawah pemetaan perspektif. Namun, kepentingan subjek yang sebenarnya menjadi jelas hanya setelah tahun 1800 dalam karya beberapa ahli matematika Prancis lainnya, terutama Jean-Victor Poncelet (1788–1867). Secara umum, dengan mengabaikan pengukuran geometris seperti jarak dan sudut, geometri projektif memungkinkan pemahaman yang lebih jelas tentang beberapa sifat yang lebih umum dari objek geometris. Wawasan seperti itu telah dimasukkan dalam banyak bidang matematika yang lebih maju.

Garis paralel dan proyeksi infinity

Teorema dari Euclid's Elements (c. 300 bc) menyatakan bahwa jika sebuah garis ditarik melalui segitiga sedemikian rupa sehingga sejajar dengan satu sisi (lihat gambar), maka garis tersebut akan membagi dua sisi lainnya secara proporsional; artinya, rasio segmen di setiap sisi akan sama. Ini dikenal sebagai teorema segmen proporsional, atau teorema fundamental kesamaan, dan untuk segitiga ABC, ditunjukkan dalam diagram, dengan segmen garis DE sejajar dengan sisi AB, teorema tersebut sesuai dengan ekspresi matematika CD / DA = CE / EB.

Sekarang perhatikan efek yang dihasilkan dengan memproyeksikan segmen garis ini ke bidang lain seperti yang ditunjukkan pada gambar. Hal pertama yang perlu diperhatikan adalah bahwa segmen garis yang diproyeksikan A′B ′ dan D′E ′ tidak paralel; yaitu, sudut tidak dipertahankan. Dari sudut pandang proyeksi, garis paralel AB dan DE tampak menyatu di cakrawala, atau tak terhingga, yang proyeksi dalam bidang gambar diberi label Ω. (Itu Desargues yang pertama kali memperkenalkan satu titik di infinity untuk mewakili persimpangan garis paralel yang diproyeksikan. Selanjutnya, ia mengumpulkan semua titik di sepanjang cakrawala dalam satu garis di infinity.) Dengan diperkenalkannya Ω, gambar yang diproyeksikan sesuai dengan sebuah teorema yang ditemukan oleh Menelaus dari Aleksandria pada abad ke-1 M: C′D ′ / D′A ′ = C′E ′ / E′B ′ ∙ ΩB ′ / ΩA ′. Karena faktor ΩB ′ / ΩA ′ mengoreksi distorsi panjang proyektif, teorema Menelaus dapat dilihat sebagai varian projektif dari teorema segmen proporsional.

Invarian proyektif

Dengan ketentuan Desargues tentang jarak yang sangat jauh untuk paralel, bidang realitas dan bidang proyektif pada dasarnya dapat dipertukarkan — yaitu, mengabaikan jarak dan arah (sudut), yang tidak dipertahankan dalam proyeksi. Namun, properti lain tetap dipertahankan. Misalnya, dua titik berbeda memiliki garis penghubung yang unik, dan dua garis berbeda memiliki titik persimpangan unik. Meskipun hampir tidak ada hal lain yang tampaknya invarian di bawah pemetaan projektif, orang harus mencatat bahwa garis dipetakan ke garis. Ini berarti bahwa jika tiga titik collinear (berbagi garis yang sama), maka hal yang sama akan berlaku untuk proyeksi mereka. Dengan demikian, collinearity adalah properti invarian lainnya. Demikian pula, jika tiga garis bertemu dalam titik yang sama, maka akan proyeksi mereka.

Teorema berikut ini sangat penting untuk geometri projektif. Dalam varian pertamanya, oleh Pappus dari Alexandria (fl. Iklan 320) seperti yang ditunjukkan pada gambar, itu hanya menggunakan collinearity:

Biarkan titik yang berbeda A, B, C dan D, E, F berada pada dua garis yang berbeda. Kemudian tiga titik persimpangan — x AE dan BD, y dari AF dan CD, dan z dari BF dan CE — adalah collinear.

Varian kedua, oleh Pascal, seperti yang ditunjukkan pada gambar, menggunakan properti lingkaran tertentu:

Jika titik berbeda A, B, C, D, E, dan F berada pada satu lingkaran, maka tiga titik persimpangan x, y, dan z (didefinisikan seperti di atas) adalah collinear.

Ada satu lagi invarian penting di bawah pemetaan projektif, yang dikenal sebagai rasio silang (lihat gambar). Diberikan empat titik collinear yang berbeda A, B, C, dan D, rasio silang didefinisikan sebagai CRat (A, B, C, D) = AC / BC ∙ BD / AD. Ini juga dapat ditulis sebagai hasil bagi dari dua rasio: CRat (A, B, C, D) = AC / BC: AD / BD.

Formulasi yang terakhir mengungkapkan rasio silang sebagai rasio rasio jarak. Dan sementara tidak ada jarak maupun rasio jarak yang dipertahankan di bawah proyeksi, Pappus pertama kali membuktikan fakta mengejutkan bahwa rasio silang tidak berubah — yaitu, CRat (A, B, C, D) = CRat (A ′, B ′, C ′, D ′). Namun, hasil ini tetap menjadi rasa ingin tahu belaka sampai signifikansinya yang nyata menjadi jelas secara bertahap pada abad ke-19 ketika pemetaan menjadi semakin penting untuk mengubah masalah dari satu domain matematika ke domain lainnya.