Trigonometri

Trigonometri pesawat

Dalam banyak aplikasi trigonometri masalah penting adalah solusi segitiga. Jika cukup sisi dan sudut yang diketahui, sisi dan sudut yang tersisa serta area dapat dihitung, dan segitiga tersebut kemudian dikatakan dipecahkan. Segitiga dapat diselesaikan dengan hukum sinus dan hukum cosinus. Untuk mengamankan simetri dalam penulisan undang-undang ini, sudut segitiga adalah huruf A, B, dan C dan panjang sisi yang berseberangan dengan sudut huruf masing-masing adalah huruf a, b, dan c.

Hukum sinus dinyatakan sebagai persamaan yang melibatkan tiga fungsi sinus sedangkan hukum cosinus adalah identifikasi kosinus dengan ekspresi aljabar yang terbentuk dari panjang sisi yang berseberangan dengan sudut yang bersesuaian. Untuk memecahkan segitiga, semua nilai yang diketahui disubstitusi ke dalam persamaan yang mengekspresikan hukum sinus dan cosinus, dan persamaan diselesaikan untuk jumlah yang tidak diketahui. Sebagai contoh, hukum sinus digunakan ketika dua sudut dan satu sisi diketahui atau ketika dua sisi dan sudut berlawanan satu diketahui. Demikian pula, hukum cosinus tepat ketika dua sisi dan sudut yang disertakan diketahui atau tiga sisi diketahui.

Teks pada trigonometri menghasilkan formula lain untuk menyelesaikan segitiga dan untuk memeriksa solusinya. Buku teks yang lebih lama sering menyertakan formula yang sangat cocok untuk perhitungan logaritmik. Namun, buku teks yang lebih baru, sering kali menyertakan instruksi komputer sederhana untuk digunakan dengan program matematika simbolis.

Trigonometri bola

Trigonometri bola melibatkan studi tentang segitiga bola, yang dibentuk oleh persimpangan dari tiga lingkaran besar pada permukaan bola. Segitiga bundar menjadi sasaran penelitian intensif dari jaman dahulu karena kegunaannya dalam navigasi, kartografi, dan astronomi. (Lihat Passage di atas ke Eropa.)

Sudut-sudut segitiga bola ditentukan oleh sudut perpotongan garis singgung yang sesuai untuk setiap titik. Jumlah sudut dari sebuah segitiga bola selalu lebih besar dari jumlah sudut dalam sebuah segitiga planar (π radian, setara dengan dua sudut kanan). Jumlah dimana setiap segitiga bola melebihi dua sudut kanan (dalam radian) dikenal sebagai kelebihan bola. Area segitiga bola diberikan oleh produk dari kelebihan bola E dan kuadrat dari jari-jari bola tempat ia berada — dalam simbol, Er ².

Dengan menghubungkan simpul segitiga berbentuk bola dengan pusat O dari bola tempat ia berada, "sudut" khusus yang dikenal sebagai sudut trihedral terbentuk. Sudut pusat (juga dikenal sebagai sudut dihedral) antara setiap pasangan segmen garis OA, OB, dan OC diberi label α, β, dan γ untuk sesuai dengan sisi (busur) dari segitiga bola berlabel a, b, dan c, masing-masing. Karena fungsi trigonometrik dari sudut pusat dan busur yang sesuai memiliki nilai yang sama, rumus trigonometri bola diberikan dalam hal sudut bulat A, B, dan C dan, secara bergantian, dalam hal busur a, b, dan c dan sudut dihedral α, β, dan γ. Selain itu, sebagian besar rumus dari trigonometri bidang memiliki representasi analog dalam trigonometri bola. Misalnya, ada hukum bola sinus dan hukum bola kosinus.

Seperti yang dijelaskan untuk segitiga bidang, nilai-nilai yang diketahui melibatkan segitiga bola disubstitusi dalam rumus trigonometri bola analog, seperti hukum sinus dan kosinus, dan persamaan yang dihasilkan kemudian dipecahkan untuk jumlah yang tidak diketahui.

Banyak hubungan lain ada antara sisi dan sudut segitiga bola. Yang perlu disebutkan adalah analogi Napier (dapat diturunkan dari rumus setengah sudut atau setengah sisi trigonometri bulat), yang sangat cocok untuk digunakan dengan tabel logaritmik.

Trigonometri analitik

Trigonometri analitik menggabungkan penggunaan sistem koordinat, seperti sistem koordinat Cartesius yang digunakan dalam geometri analitik, dengan manipulasi aljabar berbagai fungsi trigonometri untuk mendapatkan formula yang berguna untuk aplikasi ilmiah dan rekayasa.

Fungsi trigonometri dari variabel nyata x didefinisikan dengan menggunakan fungsi trigonometri sudut. Sebagai contoh, sin x di mana x adalah bilangan real didefinisikan memiliki nilai sinus dari sudut yang mengandung x radian. Definisi serupa dibuat untuk lima fungsi trigonometri lainnya dari variabel nyata x. Fungsi-fungsi ini memenuhi hubungan trigonometrik yang dicatat sebelumnya dengan A, B, 90 °, dan 360 ° diganti masing-masing dengan radian x, y, ^π / ₂, dan 2π. Periode minimum tan x dan cot x adalah π, dan dari empat fungsi lainnya adalah 2π.

Dalam kalkulus ditunjukkan bahwa sin x dan cos x adalah jumlah deret pangkat. Seri ini dapat digunakan untuk menghitung sinus dan cosinus dari sudut manapun. Sebagai contoh, untuk menghitung sinus 10 °, perlu untuk menemukan nilai sin ^π / ₁₈ karena 10 ° adalah sudut yang mengandung ^π / ₁₈ radian. Ketika ^π / ₁₈ diganti dalam seri untuk sin x, ditemukan bahwa dua suku pertama memberikan 0,17365, yang benar untuk lima tempat desimal untuk sinus 10 °. Dengan mengambil cukup banyak seri, sejumlah tempat desimal dapat diperoleh dengan benar. Tabel fungsi dapat digunakan untuk membuat sketsa grafik fungsi.

Setiap fungsi trigonometri memiliki fungsi terbalik, yaitu fungsi yang "merusak" fungsi aslinya. Misalnya, fungsi terbalik untuk fungsi sinus ditulis arcsin atau sin ⁻¹, dengan demikian dosa ⁻¹ (sin x) = dosa (sin ⁻¹ x) = x. Fungsi invers trigonometri lainnya didefinisikan dengan cara yang sama.

Koordinasi dan transformasi koordinat